Ejercicio nº 1.-

a)  Clasifica los siguientes números como naturales, enteros, racionales o irracionales:

b)  Representa sobre la recta los siguientes números:

Solución:

b)

Ejercicio nº 2.-

a)  Escribe en forma decimal:

b)  Expresa en forma de fracción irreducible los siguientes números:

Solución:

a)  Efectuamos la división en cada caso:

b)

Ejercicio nº 3.-

a)  Reduce a una sola fracción y simplifica:

b)  Simplifica:

Solución:

Ejercicio nº 4.-

Halla el perímetro de un rectángulo, sabiendo que la longitud de la base es de  43,2 cm y que la altura mide  3/5  de la base.

Solución:

Por tanto, el perímetro será:

P = 2 · (25,92 + 43,2) = 2 · 69,12 = 138,24 cm

Ejercicio nº 5.-

El  45%  de los habitantes de un lugar hacen la compra una vez por semana. De estos, el  35%  la hacen en un determinado supermercado. Si el total de habitantes del lugar es de 30 000 personas, ¿cuántos son los que compran en ese supermercado una vez por semana?

Solución:

30 000 · 0,45 · 0,35 = 4 725 personas compran en ese supermercado una vez por semana.

Ejercicio nº 6.-

a)  Si por un pescado que pesaba  900 gr  hemos tenido que pagar  11,16 €, ¿cuánto habríamos pagado si su peso hubiera sido de  1 200 g?

b)  Tres obreros han tardado  10  horas en realizar cierto trabajo. ¿Cuántos obreros serían necesarios para terminar ese mismo trabajo en seis horas?

Solución:

Otra forma:
11,16 : 900 = 0,0124 € cuesta 1 g
1 200 · 0,0124 = 14,88 € cuestan 1 200 g

Otra forma:
10 · 3 = 30 horas tardaría un obrero
30 : 6 = 5 obreros serían necesarios para tardar 6 horas

Ejercicio nº 7.-

Un depósito tiene dos desagües. Abriendo el primero, el depósito se vacía en  6  horas y, abriendo el segundo, se vacía en  4  horas. ¿Cuánto tardará en vaciarse si se abren los dos desagües a la vez?

Solución:

En 1 hora se vacía (abriendo los dos a la vez):

Por tanto, abriendo los dos, tarda en vaciarse el depósito:

Ejercicio nº 8.-

Halla la suma de los quince primeros términos de una progresión aritmética en la que 
a5 = 9,7  y  a9 = 17,7.

Solución:

a9 = a5 + 4d  ®  17,7 = 9,7 + 4d  ®  8 = 4d  ®  d = 2
a1 = a5 - 4d = 9,7 - 8 = 1,7  ®  a1 = 1,7
a15 = a1 + 14d = 1,7 + 28 = 29,7  ®  a15 = 29,7

Ejercicio nº 9.-

Rosa dice lo siguiente: esta semana ahorraré  1 €; la próxima,  1,2 €; la siguiente,  1,4 €, y así sucesivamente durante  15  semanas. Pasan las semanas, y Rosa cumple con su propósito. Acaba de echar en la hucha  3,2 €. ¿Cuántas semanas le quedan?

Solución:

a1 = 1;  a2 = 1,2;  a3 = 1,4;...;   a15  son los términos de una progresión aritmética de diferencia  
d = 0,2.

Veamos cuál es el término correspondiente a  3,2 €:

an = a1 + (n - 1) · d  ®  3,2 = 1 + (n - 1) · 0,2  ®  3,2 = 1 + 0,2n - 0,2
2,4 = 0,2n  ®  n = 12. 

Lleva  12  semanas. Le quedan  3.

Ejercicio nº 10.-

Un empresario obtuvo, el primer año de su negocio, unos beneficios de  108 000 €. El segundo año, obtuvo la mitad de esos beneficios; el tercer año, la mitad que el segundo, y así sucesivamente. Si mantuvo el negocio durante  5  años, ¿cuáles fueron los beneficios obtenidos en total?

Solución:

Los beneficios que obtuvo cada año forman una progresión geométrica de  5  términos, en la 

Los beneficios obtenidos en total son la suma de los cinco primeros términos de la progresión.

Ejercicio nº 11.-

Opera y simplifica:

Solución:

Ejercicio nº 12.-

Opera y simplifica:

Solución:

Ejercicio nº 13.-

Resuelve esta ecuación:

Solución:

18x + 9 - 5x - 15 + 10x + 150 = 7x + 56 + 104
18x - 5x + 10x - 7x = 56 + 104 - 9 + 15 - 150
16x = 16
x = 1

Ejercicio nº 14.-

Resuelve estas ecuaciones:

a)  3x2 - 5x - 2 = 0

b)  3x2 - 48 = 0

Solución:

a)  3x2 - 5x - 2 = 0

b)  3x2 - 48 = 0

Ejercicio nº 15.-

Resuelve:

Solución:

4x2 + 2x - 9x2 - 3 = 12x2 + 12x - 30
4x2 - 9x2 - 12x2 + 2x - 12x - 3 + 30 = 0
-17x2 - 10x + 27 = 0  ®  17x2 + 10x - 27 = 0

Ejercicio nº 16.-

Resuelve estos sistemas e interpreta gráficamente la solución obtenida en cada caso:

Solución:

No tiene solución. Son dos rectas paralelas.

Ejercicio nº 17.-

Resuelve:

Solución:

x = 1  ;  y = -1

Ejercicio nº 18.-

Halla tres números pares consecutivos, sabiendo que la suma del primero más la mitad del tercero excede en 20 unidades a la tercera parte del segundo.

Solución:

Llamamos a los números como sigue:

Primero    ®  2x - 2
Segundo  ®  2x
Tercero    ®  2x + 2

Así, tenemos que:

 6x - 6 + 3x + 3 = 2x + 60

Los números son 16, 18 y 20.

Ejercicio nº 19.-

Un comerciante compra dos productos por 500 € y después los vende. Por la venta del primero de los artículos obtiene un 5% de beneficio; y, por la venta del segundo, un  4,5% de beneficio. Sabiendo que consiguió 3,15 € más de beneficio por la venta del primero que por la del segundo, ¿cuánto le costó cada uno de ellos?

Solución:

Hagamos una tabla para organizar la información:

Sabemos que:

y = 500 - x
0,05x = 0,045(500 - x) + 3,15
0,05x = 22,5 - 0,045x + 3,15

x = 270  ;  y = 230
El primero le costó 270 € y el segundo, 230 €.

Ejercicio nº 20.-

Indica si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones. En las que sean falsas, explica por qué:

a)  El punto de corte de las mediatrices se llama baricentro.

b)  Los ángulos de un paralelogramo suman  180°.

c)  La medida de un ángulo inscrito en una circunferencia es igual a la del ángulo central correspondiente.

d)  Las alturas de un triángulo se cortan en el ortocentro.

Solución:

a)  Falsa. El punto de corte de las mediatrices se llama circuncentro; el baricentro es el punto de corte de las medianas.

b)  Falsa. Los ángulos de un paralelogramo suman 360°; los ángulos de un triángulo suman  180°.

c)  Falsa. La medida de un ángulo inscrito en una circunferencia es igual a la mitad de la del ángulo central correspondiente.

d)  Verdadera.

Ejercicio nº 21.-

Contesta a las siguientes cuestiones, razonando tu respuesta:

a)  Si un poliedro simple tiene 8 caras y 6 vértices, ¿cuántas aristas tiene?

b)  Un ortoedro de altura 4 cm, cuya base es un cuadrado de 4 cm de lado, ¿es regular?¿Cómo se llama este poliedro?

c)  ¿Qué relaciones hay entre dos poliedros duales? Pon un ejemplo de dos poliedros duales.

Solución:

a)  Si  c  es el número de caras de un poliedro simple,  v  el número de vértices y  a  el número de aristas, se cumple que:

c + v - a = 2     (fórmula de Euler)

Por tanto, si  c = 8  y  v = 6, entonces:

8 + 6 - a = 2   ®   a = 12   ®   Tiene 12 aristas.

b)  Sí es regular: sus caras son cuadradas y en cada vértice concurren tres caras. Este poliedro se llama cubo o hexaedro.

c)  Dos poliedros duales tienen el mismo número de aristas. El número de caras de cada uno de ellos coincide con el número de vértices del otro. Son poliedros duales el cubo y el octaedro. También lo son el icosaedro y el dodecaedro. El tetraedro es dual de sí mismo.

Ejercicio nº 22.-

Calcula la longitud de la diagonal de un ortoedro cuyas dimensiones son 7 dm, 6 dm y 
9 dm.

Solución:

Ejercicio nº 23.-

a)  Desde un punto  P  se traza una tangente a una circunferencia. La distancia de  P  al centro de la circunferencia es de 25 cm, y la distancia de  P  al punto de tangencia es de 24 cm. ¿Cuál es la longitud del radio?

b)  En una circunferencia de 7 cm de radio trazamos una recta a 4 cm de su centro. Halla la longitud de la cuerda que determina esta recta en la circunferencia.

Solución:

a)

Aplicamos el teorema de Pitágoras:

b)

Aplicamos el teorema de Pitágoras:

Por tanto, la longitud de la cuerda es  2x = 2 · 5,74 = 11,48 cm.

Ejercicio nº 24.-

Halla el área de la parte coloreada en esta figura (el triángulo superior es equilátero):

r = 2 cm
R = 5 cm

Solución:

·  Área del rectángulo = b · h = 10 · 3 = 30 cm2  
El área coloreada del rectángulo ocupa la mitad de este = 30 : 2 = 15 cm2 = A3  
·  Área total = A1 + A2 + A3 = 43,3 + 65,94 + 15 = 124,24 cm2 

Ejercicio nº 25.-

Halla la superficie total de cada una de estas figuras:

Solución:

a)  ·  Hallamos el área de una base:

·  Área de una cara lateral = b · h = 3 · 5 = 15 cm2 = A2  
·  Área total = 2A1 + 6A2 = 2 · 23,40 + 6 · 15 = 46,80 + 90 = 136,80 cm2  

Ejercicio nº 26.-

Halla el volumen de cada una de las siguientes figuras:

Perímetro de la base = 12,56 cm

Solución:

a)  ·  Hallamos el radio de la base:

b)  ·  Hallamos la altura de la pirámide:

Ejercicio nº 27.-

transformada de  F  al aplicarle  T o S.

Solución:

Aplicamos  S  y después  T.  La figura resultante es  F ²:

Ejercicio nº 28.-

a)  Describe un giro que transforme  F1  en  F2.

b)  Describe un movimiento que transforme  F2  en  F3.

Solución:

a)  Giro de centro en el origen y ángulo  a = -90°.

b)  Simetría cuyo eje es la recta  x = 2.

Ejercicio nº 29.-

Victoria y Alberto fueron esta mañana a recoger un encargo a un lugar  A.  Desde allí se dieron la vuelta, parando a comer en otro lugar  B.  Finalmente, regresaron a su casa. La siguiente gráfica describe la situación:

a)  ¿A qué distancia de su casa se encuentra el lugar  A? ¿Cuánto tiempo estuvieron allí?

b)  ¿A qué distancia de su casa se encuentra  B? ¿Cuánto tiempo estuvieron parados para comer?

c)  ¿Qué velocidad media llevaron hasta llegar a  A?

d)  ¿Cuánto tiempo tardaron desde que salieron hasta que volvieron a su casa? ¿Cuántos kilómetros han recorrido en total?

Solución:

a)  Se encuentra a 100 km de su casa. Estuvieron media hora.
b)  Se encuentra a 60 km de su casa. Estuvieron parados una hora y media.
c)  100 km/h
d)  Tardaron en total 5 horas y media.
Han recorrido 100 + 40 + 60 = 200 km (100 km a la ida y 100 km a la vuelta).

Ejercicio nº 30.-

La siguiente gráfica representa el caudal de agua de un río durante un cierto tiempo:

a)  ¿Durante cuánto tiempo se han tomado las medidas?
b)  Describe el crecimiento y el decrecimiento del caudal.
c)  ¿En qué momento el caudal es máximo? ¿Cuándo es mínimo?

Solución:

a)  Durante 1 año.
b)  Creciente   ®   Desde enero hasta abril y desde agosto hasta finales de año.
Decreciente   ®   Desde abril hasta agosto.
c)  El caudal es máximo en abril y mínimo en agosto.

Ejercicio nº 31.-

Representa las siguientes funciones:

b)  3x + 2y = 1
c)  y = -2

Solución:

a)  Pasa por  (0, -2)  y  (-2, 1).

Pasa por  (1, -1)  y  (-1, 2).

c)  Paralela al eje  X.

Ejercicio nº 32.-

Obtén la ecuación de cada una de estas rectas:

a)  Pasa por los puntos  P(3, 1)  y  Q(-1, -7).

b)  

c)  

Solución:

Ecuación punto-pendiente:

b)

Es una función de proporcionalidad (pasa por (0, 0)), cuya pendiente es:

Su ecuación será:  y = -2x

c)  y = 2

Ejercicio nº 33.-

Por  6  litros de leche hemos pagado 4,8 €; y 14 litros nos habrían costado 11,2 €.

a)  Halla la ecuación de la recta que nos da el precio en función de los litros de leche que compremos.

b)  Represéntala gráficamente.

c)  ¿Cuánto nos habrían costado 45 litros de leche?

Solución:

a)  Buscamos la ecuación de la recta que pasa por los puntos  (6; 4,8)  y  (14; 11,2):

Ecuación punto-pendiente:

Observación: Como se trata de una función de proporcionalidad (pues 0 litros cuestan 0 €), podríamos haber escrito directamente la ecuación, conociendo la pendiente:  y = 0,8x.

b)

c)  Si  x = 45 litros,  entonces:  y = 0,8 · 45 = 36 €