Ejercicio nº 1.-

a)  De los siguientes números, indica cuáles de ellos son naturales, enteros, racionales e irracionales:

b)  Representa sobre la recta los números:

Solución:

b)

Ejercicio nº 2.-

a)  Expresa en forma decimal:

b)  Pasa a forma de fracción irreducible los números:

Solución:

a)  Efectuamos la división en cada caso:

b)

Ejercicio nº 3.-

a)  Opera y simplifica el resultado:

b)  Reduce a una sola potencia y calcula:

Solución:

Ejercicio nº 4.-

En el trayecto de vuelta del trabajo a su casa, Antonio ha hecho dos paradas. Llevando  2/5  del camino, paró en la gasolinera y, cuando llevaba  1/3  más del camino, paró a comprar pan. Sabiendo que le faltan  11,2 km para llegar, ¿cuál es la distancia de su casa al trabajo?

Solución:

Lleva recorrido:

De su casa al trabajo hay  42 km de distancia.

Ejercicio nº 5.-

La recaudación en una tienda durante la primera quincena de julio fue de  1 200 €; en la segunda quincena recaudaron un  18%  más que en la primera, y en la primera de agosto la recaudación descendió en un  5%.  ¿Cuánto dinero recaudaron en la primera quincena de agosto?

Solución:

1 200 · 1,18 · 0,95 = 1 345,2 € recaudaron en la primera quincena de agosto.

Ejercicio nº 6.-

Tres socios invierten en un negocio  25 000 €,  18 000 €  y  32 000 €, respectivamente. Al cabo de un año, obtienen unos beneficios de  375 000 €. ¿Cuánto le corresponderá a cada uno?

Solución:

Suma: 75 miles de €
375 000 : 75 = 5 000 € de beneficio corresponden a cada mil euros invertidos.

1er socio:	25 miles de €  ®  25 · 5 000 = 125 000 € le corresponden
2° socio:	18 miles de €  ®  18 · 5 000 =   90 000 € le corresponden
3er socio:	32 miles de €  ®  32 · 5 000 = 160 000 € le corresponden

Ejercicio nº 7.-

Un ciclista sale de una población  A  a una velocidad de  15 km/h. A los veinte minutos, sale en su persecución una moto a una velocidad de  45 km/h.

a)  ¿Cuánto tiempo tardará en alcanzarlo?

b)  ¿A qué distancia de  A  lo alcanzará?

Solución:

a)

Se aproximan a una velocidad de:  45 - 15 = 30 km/h

Tiempo que tarda en alcanzarlo:

b)  Distancia de  A  a la que lo alcanza:

Ejercicio nº 8.-

En una progresión geométrica de razón positiva, sabemos que  a2 = 10  y  a4 = 40. Calcula la razón y la suma de los  9  primeros términos.

Solución:

a9 = a1 · r8 = 5 · 28 = 5 · 256 = 1 280  ®  a9 = 1 280

Ejercicio nº 9.-

En un cine, la segunda fila de butacas está a  10  metros de la pantalla, y la séptima fila está a  16  metros. ¿En qué fila debe sentarse una persona a la que le guste ver la pantalla a una distancia de  28  metros?

Solución:

La distancia de cada fila de butacas a la pantalla son los términos de una progresión aritmética.

Sabemos que  a2 = 10 m  y  a7 = 16 m.
Buscamos  n  tal que  an = 28 m.

a7 = a2 + 5d  ®  16 = 10 + 5d  ®  6 = 5d  ®  d = 1,2 m
a1 = a2 - d = 10 - 1,2 = 8,8 m  ®  a1 = 8,8 m
an = a1 + (n - 1) · d  ®  28 = 8,8 + (n - 1) · 1,2
28 = 8,8 + 1,2n - 1,2  ®  20,4 = 1,2n  ®  n = 17

Deberá sentarse en la fila 17.

Ejercicio nº 10.-

El radio, elemento radiactivo, se descompone a razón del  4%  por siglo. Si inicialmente partimos de  1 kg de radio, ¿cuántos gramos habrá al cabo de  1 000  años?¿Y al cabo de 2 000  años?

Solución:

La cantidad de radio que hay en cada siglo es una progresión geométrica, en la que sabemos que  a1 = 1 000 g  y  r = 0,96 (Si se descompone el 4%, lo que queda es el 96%).

-  Al cabo de 1 000 años = 10 siglos, habrá:
1 000 · 0,9610 = 664,83 g

-  Al cabo de 2 000 años = 20 siglos, habrá:
2 000 · 0,9620 = 442 g

Ejercicio nº 11.-

Efectúa y simplifica el resultado:

Solución:

Ejercicio nº 12.-

Opera y simplifica en cada caso:

Solución:

Ejercicio nº 13.-

Resuelve la ecuación:

Solución:

9x + 9 + 12x - 30 - 2x - 4 = 2x - 2 - 57
9x + 12x - 2x - 2x = -2 - 57 - 9 + 30 + 4
17x = -34

Ejercicio nº 14.-

Resuelve las ecuaciones:

a)  -3x2 - 13x + 10 = 0

b)  4x2 - 144 = 0

Solución:

a)  -3x2 - 13x + 10 = 0

b)  4x2 - 144 = 0

Ejercicio nº 15.-

Resuelve la ecuación:

Solución:

4x2 + 8x + 4 - 2x2 + 4x - 2 = 12x2 + 12x + x + 3 - 12
4x2 - 2x2 - 12x2 + 8x + 4x - 12x - x + 4 - 2 - 3 + 12 = 0
-10x2 - x + 11 = 0

Ejercicio nº 16.-

Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones e interpreta la solución obtenida en cada caso:

Solución:

x = -1  ;  y = 0
Son dos rectas que se cortan en el punto  (-1, 0).

No tiene solución. Son dos rectas paralelas.

Ejercicio nº 17.-

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones:

Solución:

x = 3  ; y = 0

Ejercicio nº 18.-

Las dos cifras de un número suman 14; y, si invertimos el orden de sus cifras, el nuevo número supera en 36 unidades al número inicial. ¿De qué número se trata?

Solución:

Llamamos  x  a la cifra de las decenas e  y  a la de las unidades. Así, el número será  10x + y. Tenemos que:

x + y = 14  ®  x + 9 = 14  ®  x = 5   
x = 5  ;  y  = 9
El número que buscamos es el 59.

Ejercicio nº 19.-

Se mezclan 4 kg de café de 13,8 €/kg con cierta cantidad de otro café de 9,6 €/kg, obteniendo una mezcla de 12 €/kg. ¿Cuántos kilos del segundo tipo de café se han utilizado?

Solución:

Hacemos una tabla para organizar la información:

12(4 + x) = 55,2 + 9,6x 

Se han utilizado 3 kg del segundo tipo de café.

Ejercicio nº 20.-

Dibuja en cada caso la figura que se indica:

a)  Un cuadrilátero con dos ángulos agudos y dos obtusos.

b)  Un triángulo isósceles en el que el lado desigual mida 3 cm y los lados iguales midan 
4 cm cada uno. Traza la circunferencia circunscrita al triángulo e indica cómo se llama el centro de dicha circunferencia.

c)  Un rombo cuyas diagonales midan 4 cm y 2,5 cm, respectivamente.

Solución:

a)  Por ejemplo:                                       O bien:

a es agudo y b es obtuso.                 a es agudo y b es obtuso.

b)

El centro de la circunferencia circunscrita se llama circuncentro, y es el punto de corte de las mediatrices.

c)  Las diagonales de un rombo son perpendiculares y se cortan en su punto medio:

Ejercicio nº 21.-

Dibuja cada una de las siguientes figuras y su desarrollo plano:

a)  Un prisma de base hexagonal.

b)  Una pirámide de base cuadrada.

c)  Un cono recto.

d)  Un tronco de cono.

Solución:

a)

b)

c)

d)

Ejercicio nº 22.-

Halla la longitud de la apotema de un hexágono regular de 8 cm de lado.

Solución:

Aplicamos el teorema de Pitágoras:

Ejercicio nº 23.-

Halla la altura,  h,  del siguiente triángulo:

Solución:

Aplicamos el teorema de Pitágoras a cada uno de los dos triángulos rectángulos que se forman:

Ejercicio nº 24.-

Halla el área de la parte coloreada:

Solución:

·  Área de � = b · h = 5 · 1 = 5 cm2 = A1  
·  Área de ‚ = b · h = 2 · 1 = 2 cm2 = A2  

·  Área total = A1 + A2 + A3 - A4 = 5 + 2 + 4 - 2,31 = 8,69 cm2  

Ejercicio nº 25.-

Halla el área total de cada una de estas figuras:

a)  Un tetraedro de 6 cm de arista.

b)  Un cilindro de 24 cm de altura y cuya circunferencia básica mide 50,24 cm.

Solución:

a)  ·  Hallamos el área de una de las caras:

·  Como tiene cuatro caras iguales:
Área total = 4 · 15,60 = 62,40 cm2  

b)

·  Hallamos el radio de la base:

·  Área total = 2A1 + A2 = 401,92 + 1 205,76 = 1 607,68 cm2

Ejercicio nº 26.-

Halla razonadamente el volumen total del tronco de cono que se obtiene al hacer girar este trapecio alrededor del eje indicado:

Solución:

·  Volumen del tronco de cono = Vcono grande - Vcono pequeño  
·  Hallamos la altura de cada uno de los conos, utilizando la semejanza de triángulos:

La altura del cono grande es de 12 cm y la del pequeño, de 6 cm.

·  Por tanto:

Ejercicio nº 27.-

Dibuja la figura,  F,  de vértices  A(-7, 3),  B(-2, 3),  C(-3, 1)  y  D(-6, 1).  

a)  Obtén la figura,  F ¢,  que se obtiene al aplicarle a  F  un giro con centro en el origen y  ángulo  a = -90°. 

b)  Aplícale a  F ¢  una simetría cuyo eje sea el eje  X.

Solución:

Ejercicio nº 28.-

a)  Describe un movimiento que transforme  F1  en  F2.

b)  Describe otro movimiento que transforme  F1  en  F3.

Solución:

b)  Simetría cuyo eje es el eje  X.

Ejercicio nº 29.-

La siguiente gráfica corresponde a la velocidad de un móvil (en m/s) en función del tiempo:

a)  ¿Cuál es la velocidad que lleva inicialmente?
b)  ¿En qué momentos acelera o frena?
c)  ¿Cuándo mantiene su velocidad constante y cuál es esa velocidad?
d)  ¿Cuánto tiempo está acelerando? ¿Cuánto tiempo tarda en pararse desde que empieza a frenar?

Solución:

a)  1 m/s
b)  Acelera durante los 4 primeros segundos. Frena durante los dos últimos.
c)  Entre los 4 y los 8 segundos. Va a 5 m/s.
d)  Está acelerando durante 4 segundos (los 4 primeros) y tarda 2 segundos en pararse desde que empieza a frenar.

Ejercicio nº 30.-

La siguiente gráfica muestra la evolución de la población en un cierto lugar:

a)  ¿Cuál es el dominio de definición que hemos considerado?
b)  ¿Qué población había en enero de 1999?
c)  ¿En qué momento la población fue máxima? ¿Cuál fue ese máximo?
d)  ¿En qué momento la población fue mínima? ¿Cuál fue ese mínimo?
e)  Describe la evolución de la población en el periodo de tiempo considerado.

Solución:

a)  Desde enero de 1999 hasta enero de 2002.
b)  100 000 habitantes.
c)  En enero de 2000, que había 140 000 habitantes.
d)  En enero de 2001, que había 60 000 habitantes.
e)  Creciente de enero de 1999 a enero de 2000 y de enero de 2001 a enero de 2002.
Decreciente de enero de 2000 a enero de 2001.

Ejercicio nº 31.-

Representa las funciones:

b)  x + 2y = 5
c)  y = -1

Solución:

a)  Pasa por  (0, 1)  y  (2, 4).

Pasa por  (1, 2)  y  (3, 1).

c)  Paralela al eje  X.

Ejercicio nº 32.-

Halla la ecuación de cada una de estas rectas:

a)  Pasa por los puntos  P(-1, -2)  y  Q(1, 8).
b)  Es paralela a  4x + 2y = 1  y pasa por el  punto  A(0, 4).

Solución:

Ecuación punto-pendiente:

b)  Paralela a  4x + 2y = 1  ®  Tienen la misma pendiente.

La ecuación será:  y = -2x + 4

Ejercicio nº 33.-

En un determinado lugar, unos buceadores han medido una presión de 3 atmósferas a una profundidad de 20 m. A los 35 m de profundidad, la presión era de 4,5 atmósferas.

a)  Halla la ecuación de la recta que nos da la presión en función de la profundidad.

b)  Represéntala gráficamente.

c)  ¿Cuál era la presión a 25 m de profundidad?

Solución:

a)  Buscamos la ecuación de la recta que pasa por los puntos  (20, 3)  y  (35; 4,5):

Ecuación punto-pendiente:

b)  

c)  Si  x = 25 m,  entonces:  y = 0,1 · 25 + 1 = 2,5 + 1 = 3,5 atmósferas