Ejercicio nº 1.-

a)  Clasifica como naturales, enteros, racionales o irracionales los siguientes números:

b)  Representa sobre la recta los números:

Solución:

b)

Ejercicio nº 2.-

a)  Escribe en forma decimal:

b)  Expresa los siguientes números en forma de fracción irreducible:

Solución:

a)  Efectuamos la división en cada caso:

b)

Ejercicio nº 3.-

a)  Efectúa y simplifica:

b)  Calcula:

Solución:

b)

Ejercicio nº 4.-

En una reunión, la sexta parte son niños y niñas, las  2/5  partes son mujeres, y el resto son hombres. Si hay  156  hombres, ¿cuántas personas hay en la reunión?

Solución:

Entre mujeres y niños y niñas hay:

Es decir:

Hay  360  personas en la reunión.

Ejercicio nº 5.-

Un producto costaba, sin IVA,  34,52 €,  y lo han rebajado un  15%.  Sabiendo que el IVA es del  7%,  ¿cuál será su precio final con IVA?

Solución:

34,52 · 0,85 · 1,07 = 31,39594 » 31,40 €

Ejercicio nº 6.-

Se mezclan  60 kg de café de 14 €/kg con  80 kg de otro café de calidad inferior, de 
10,5  €/kg. ¿A cuánto sale el kg de mezcla?

Solución:

Ejercicio nº 7.-

Doce obreros, trabajando  8  horas diarias, han terminado un trabajo en  25  días. ¿Cuánto tardarían cinco obreros en hacer ese mismo trabajo, trabajando  10  horas diarias?

Solución:

Tardarían 48 días.

Otra forma:
12 · 25 = 300 días tardaría 1 obrero trabajando 8 horas diarias.
300 · 8 = 2 400 horas tardaría 1 obrero en hacer el trabajo.
2 400 : 5 = 480 horas tardarían 5 obreros en hacer el trabajo.
480 : 10 = 48 días tardarían 5 obreros a 10 horas diarias. 

Ejercicio nº 8.-

El tercer témino de una progresión geométrica vale  18,  y la razón es  3.  Calcula la suma de los siete primeros términos.

Solución:

a3 = a1 · r2  ®  18 = a1 · 9  ®  a1 = 2
a7 = a1 · r6 = 2 · 36 = 2 · 729 = 1 458  ®  a7 = 1 458

Ejercicio nº 9.-

Sobre un depósito que contenía una cierta cantidad de agua, se ha abierto un grifo de caudal constante. A los  5  minutos, el depósito contiene  372  litros, y a los  18  minutos, contiene  697  litros. Calcula la cantidad inicial de agua, el caudal del grifo y la cantidad de agua que habrá cuando se cierre el grifo, media hora después de abrirlo.

Solución:

Si consideramos la cantidad de agua que hay en cada minuto, tenemos una progresión aritmética en la que:

a1 = cantidad inicial de agua
d = caudal del grifo (en litros por minuto)
a6 = 372 (agua que hay a los  5  minutos)
a19 = 697 (agua que hay a los  18  minutos)

Buscamos  a1, d  y  a31.

a19 = a6 + 13d  ®  697 = 372 + 13d  ®  325 = 13d  ®  d = 25
a1 = a6 - 5d = 372 - 5 · 25 = 372 - 125 = 247  ®  a1 = 247
a31 = a1 + 30d = 247 + 30 · 25 = 247 + 750 = 997  ®  a31 = 997

Inicialmente había  247  litros; el caudal es de  25  l/min, y cuando se cierre el grifo, media hora después de abrirlo, habrá  997  litros de agua.

Ejercicio nº 10.-

a)  ¿Cuánto dinero tendremos al cabo de  3  años colocando  2 500 € al  4%  de interés anual compuesto?

b)  ¿Y al cabo de  5  años?

Solución:

a)  2 500 · 1,043 = 2 812,16 € tendremos al cabo de 3 años
b)  2 500 · 1,045 = 3 041,63 € tendremos al cabo de 5 años

Ejercicio nº 11.-

Opera y simplifica:

Solución:

Ejercicio nº 12.-

Efectúa las siguientes operaciones y simplifica el resultado obtenido:

Solución:

Ejercicio nº 13.-

Resuelve:

Solución:

-6x - 3 + 4x - 12 - 6x - 6 = 8x - 24 - 45
-6x + 4x - 6x - 8x = -24 - 45 + 3 + 12 + 6
-16x = -48

Ejercicio nº 14.-

Resuelve:

a)  -3x2 + 5x + 2 = 0

b)  5x2 + 4x = 0

Solución:

a)  -3x2 + 5x + 2 = 0

b)  5x2 + 4x = 0

Ejercicio nº 15.-

Resuelve la ecuación:

Solución:

6x2 - 6x - x2 - 2x - 1 = 2x2 - 2 + 12
6x2 - x2 - 2x2 - 6x - 2x - 1 + 2 - 12 = 0
3x2 - 8x - 11 = 0

Ejercicio nº 16.-

Resuelve los siguientes sistemas. Interpreta en cada caso la solución obtenida.

Solución:

x = 2  ;  y = -1

Son dos rectas que se cortan en el punto  (2, -1).

Tiene infinitas soluciones. Las dos rectas son, en realidad, la misma.

Ejercicio nº 17.-

Resuelve este sistema:

Solución:

x = -1  ;  y = 2

Ejercicio nº 18.-

Halla los lados de un rectángulo sabiendo que la base excede en 3 cm al doble de la altura; y que su área es de 14 cm2.

Solución:

Llamamos  x  a la altura del rectángulo; su base será  2x + 3.

Área = x(2x + 3) = 14 cm2  
2x2 + 3x - 14 = 0

2x + 3 = 4 + 3 = 7 cm

La base mide 7 cm y la altura, 2 cm.

Ejercicio nº 19.-

Un confitero ha mezclado dos tipos de caramelos; el primero, de 4 €/kg; y, el segundo, de 6 €/kg, obteniendo en total 8 kg a un precio de 4,75 €/kg. ¿Cuántos ha utilizado de cada tipo?

Solución:

Hacemos una tabla para organizar la información:

10 = 2x  ®  x = 5 kg  ®  y = 8 - 5 = 3 kg 
x = 5  ;  y = 3
Se han utilizado 5 kg del primer tipo y 3 kg del segundo tipo.

Ejercicio nº 20.-

Indica si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones. En las que sean falsas, explica por qué; y en las que sean verdaderas, pon un ejemplo. Haz un dibujo en cada caso:

a)  Si  A,  B,  C  son los vértices de un triángulo,  G  es su baricentro y  M  es el punto medio del lado  BC, la distancia de  A  a  G  es igual a la distancia de  G  a  M.

b)  Las diagonales de cualquier cuadrilátero se cortan en su punto medio.

c)  Si  a  y  b  son dos ángulos inscritos en una circunferencia que abarcan el mismo arco, entonces  a = b.

Solución:

a)  Falsa. La distancia  de  A  a  G  es igual al doble de la distancia de  G  a  M:

b)  Falsa. Por ejemplo:

Las diagonales no se cortan en su punto medio. En un paralelogramo sí es cierto que las diagonales se cortan en su punto medio.

c)  Verdadera.

a  y  b  abarcan el mismo arco. a = b.

Ejercicio nº 21.-

Indica si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones. En las que sean falsas, explica por qué:

a)  En un poliedro simple, la suma del número de caras, el de vértices y el de aristas es siempre igual a  2.

b)  El cubo y el dodecaedro son poliedros duales.

c)  El tetraedro es dual de sí mismo.

d)  La siguiente figura es un poliedro regular pues todas sus caras son triángulos equiláteros:

Solución:

a)  Falsa. En un poliedro simple, el número de caras, más el número de vértices, menos el número de aristas es siempre igual a  2 (fórmula de Euler).

b)  Falsa. Son duales el cubo y el octaedro. También lo son el dodecaedro y el icosaedro.

c)  Verdadera.

d)  Falsa. Aunque todas sus caras sean polígonos regulares idénticos, en algunos vértices concurren tres caras y en otros, cuatro.

Ejercicio nº 22.-

Halla la altura de un cono, sabiendo que el radio de la base mide 11 cm y su generatriz, 
61 cm.

Solución:

Aplicamos el teorema de Pitágoras:

Ejercicio nº 23.-

Los radios de dos circunferencias miden 7 cm y 3 cm, respectivamente. La distancia entre sus centros es de 12 cm.

a)  Halla el segmento de tangente común externa.

b)  Halla el segmento de tangente común interna.

Solución:

a)

Aplicamos el teorema de Pitágoras:

b)

Aplicamos el teorema de Pitágoras:

Ejercicio nº 24.-

Halla el área de la parte coloreada:

Solución:

·  Área total = A1 - A2 + A3 - A4 = 33,49 - 27,72 + 52 - 12,56 = 45,21 cm2  

Ejercicio nº 25.-

Calcula la superficie total de cada una de estas figuras:

a)  Un cilindro de 7,5 cm de altura en el que la base tiene 25,12 cm de longitud.

b)  Un cono de 6 cm de altura y 4 cm de radio de la base.

Solución:

a)

·  Hallamos el radio de la base:

·  Área total = 2 · A1 + A2 = 100,48 + 188,4 = 288,88 cm2 

b)

·  Hallamos la generatriz:

·  Área total = A1 + A2 = 90,56 + 50,24 = 140,8 cm2 

Ejercicio nº 26.-

Halla el volumen de cada una de las siguientes figuras:

a)

b)  Cuerpo de revolución que engendra este trapecio al girar alrededor de su base mayor:

Solución:

a)  ·  Hallamos el área de la base:

b)  El cuerpo engendrado está formado por un cilindro y un cono.

Ejercicio nº 27.-

a)  Dibuja la figura que se obtiene al aplicarle a  F  una simetría de eje  e:

Solución:

Ejercicio nº 28.-

a)  Describe un movimiento que transforme  F1  en  F2.

b)  Describe otro movimiento que transforme  F1  en  F3.

Solución:

a)  Simetría cuyo eje es el eje  Y.

Ejercicio nº 29.-

Pablo salió de su casa a las 8 de la mañana para ir al instituto. En el recreo, tuvo que volver a su casa para ir con su padre al médico. La siguiente gráfica refleja la situación:

a)  ¿A qué hora comienzan las clases y a qué hora empieza el recreo?
b)  ¿A qué distancia de su casa está el instituto? ¿Y el consultorio médico?
c)  ¿Cuánto tiempo ha estado en clase? ¿Y en el consultorio médico?
d)  Haz una interpretación completa de la gráfica.

Solución:

a)  Las clases comienzan a las 8 y media. El recreo empieza a las 11 y cuarto.
b)  El instituto está a 750 m de su casa, y el consultorio, a 1500 m.
c)  Ha estado en clase desde las 8:30 hasta las 11:15; en total, 2 horas y 45 minutos.
En el consultorio médico ha estado durante 45 minutos.
d)  Sale de su casa a las 8:00 de la mañana. Entra a clase a las 8:30 h. Ha tardado media hora en llegar al instituto, que está a 750 m de su casa. Permanece en clase hasta las 11:15, que empieza el recreo y vuelve a su casa. Tarda media hora en volver a su casa. A las 11:45 sale con su padre hacia el consultorio, que está a 1 500 m de su casa, tardando media hora en llegar. Está allí durante 45 minutos y tarda otra media hora en llegar a su casa (a las 13:30).

Ejercicio nº 30.-

Esta gráfica muestra en cuántos minutos se adelanta o se atrasa un reloj de sol en el transcurso de un año:

a)  ¿En qué fecha el reloj de sol tiene el máximo adelanto? ¿Cuándo el máximo atraso?
b)  ¿En qué fechas es exacto?
c)  ¿Es una función continua?
d)  ¿Es una función periódica? En caso afirmativo, ¿cuál es su periodo?
e)  Describe el crecimiento y el decrecimiento de la función.

Solución:

a)  Máximo adelanto   ®   3 de noviembre
Máximo atraso   ®   11 de febrero
b)  16 de abril, 14 de junio, 1 de septiembre y 25 de diciembre.
c)  Sí.
d)  Sí, el periodo es 1 año.
e)  Creciente   ®  Del 11 de febrero al 15 de mayo y del 27 de julio al 3 de noviembre.
Decreciente   ®   Del 1 de enero al 11 de febrero, del 15 de mayo al 27 de julio y del 3 de noviembre al 1 de enero.

Ejercicio nº 31.-

Representa gráficamente las funciones:

b)  -x + 3y = 1
c)  y = 2

Solución:

a)  Pasa por  (0, 1)  y  (3, -1).

Pasa por  (-1, 0)  y  (2, 1).

c)  Paralela al eje  X.

Ejercicio nº 32.-

Escribe la ecuación de cada una de las siguientes rectas:

a)  Pasa por los puntos  P(-1, -9)  y  Q(3, 7).

b)

Solución:

Ecuación punto-pendiente:

b)

Su ordenada en el origen es  n = 1.

Ejercicio nº 33.-

Un depósito contenía inicialmente 20 litros de agua cuando abrimos un grifo que arroja un caudal de 10 litros por minuto (dejamos el grifo abierto durante 6 minutos).

a)  Halla la ecuación de la recta que nos da el contenido de agua del depósito en función del tiempo, desde que abrimos el grifo hasta que lo cerramos.

b)  Represéntala gráficamente.

c)  ¿Cuánta agua había en el depósito al cabo de los 5 minutos?

Solución:

a)  y = 20 + 10x  (x  desde  0  hasta  6  minutos)

b)

c)  Si  x = 5 minutos:  y = 20 + 10 · 5 = 20 + 50 = 70 litros