Ejercicio nº 1.-

a)  Dados los siguientes números, clasifícalos según sean naturales, enteros, racionales o irracionales:

b)  Representa los siguientes números sobre la recta:

Solución:

b)

Ejercicio nº 2.-

a)  Escribe en forma decimal:

b)  Escribe en forma de fracción irreducible:

Solución:

a)  Efectuamos la división en cada caso:

b)

Ejercicio nº 3.-

a)  Calcula y simplifica el resultado:

b)  Reduce a una sola potencia:

Solución:

Ejercicio nº 4.-

En la compra que hemos hecho hoy, nos hemos gastado  3/5  del dinero que llevábamos en la frutería;  2/3  de lo que nos quedaba, en la pescadería, y el resto, que eran  7,2 €,  en la panadería. ¿Cuánto dinero teníamos al principio?

Solución:

Entre la frutería y la pescadería hemos gastado:

Al principio teníamos  54 euros.

Ejercicio nº 5.-

El número de préstamos mensuales en la biblioteca de una localidad aumentó el mes pasado en un  8%,  y este mes, ha aumentado en un  5%.  Si hace dos meses se prestaron  2 000  ejemplares, ¿cuántos se han prestado este mes?

Solución:

2 000 · 1,08 · 1,05 = 2 268 ejemplares se han prestado este mes

Ejercicio nº 6.-

a)  Un ganadero necesita  750 kg  de pienso para alimentar a sus  50  vacas durante unos días. ¿Qué cantidad de pienso sería necesaria para alimentar a  35  vacas durante los mismos días?

b)  Un coche, a  80 km/h,  tarda  5  horas en ir de una población  A  a otra población  B.  Calcula la velocidad a la que tiene que hacer el viaje de vuelta para cubrir el recorrido en  4  horas.

Solución:

Otra forma:
750 : 50 = 15 kg necesita para 1 vaca
15 · 35 = 525 kg necesita para 35 vacas

Otra forma:
5 · 80 = 400 km hay de distancia entre  A  y  B
400 : 4 = 100 km/h para tardar 4 horas

Ejercicio nº 7.-

Se funde un lingote de  2 kg de oro de ley  0,85  con otro lingote de  3 kg y ley  0,95. ¿Cuál es la ley del lingote resultante? (Recuerda que la ley de una aleación es el cociente entre el peso del metal precioso y el peso total).

Solución:

Esto significa que el 91% del lingote resultante es oro.

Ejercicio nº 8.-

El sexto término de una progresión aritmética vale  11,5;  y la diferencia es  1,5.  Halla el primer término y la suma de los quince primeros términos.

Solución:

a1 = a6 - 5d = 11,5 - 5 · 1,5 = 11,5 - 7,5 = 4  ®  a1 = 4
a15 = a1 + 14d = 4 + 14 · 1,5 = 4 + 21 = 25  ®  a15 = 25

Ejercicio nº 9.-

En un aparcamiento cobran  0,75 € por la primera hora, y  1,5 €  más por cada nueva hora.

a)  ¿Cuánto tendremos que pagar si dejamos el coche  6  horas?
b)  Halla una fórmula que nos dé el precio total por dejar el coche en el aparcamiento durante  n  horas.

Solución:

El precio que tendremos que pagar es una progresión aritmética con  a1 = 0,75 €  y  d = 1,5 €.

a)  a6 = a1 + 5d = 0,75 + 5 · 1,5 = 0,75 + 7,5 = 8,25 €
b)  an = a1 + (n - 1) · d = 0,75 + (n - 1) · 1,5 = 0,75 + 1,5n - 1,5 =
= 1,5n - 0,75  ®  an = 1,5n - 0,75

Ejercicio nº 10.-

¿En cuánto se convierten  1 500 € colocados al  3,5% de interés anual compuesto durante  3  años?¿Y durante  5  años?

Solución:

Durante  3  años:
1 500 · 1,0353 = 1 663,08 €

Durante  5  años:
1 500 · 1,0355 = 1 781,53 €

Ejercicio nº 11.-

Reduce cada una de estas expresiones:

Solución:

Ejercicio nº 12.-

Efectúa y simplifica:

Solución:

Ejercicio nº 13.-

Resuelve la ecuación:

Solución:

6x - 12 - 9x - 9 + x - 3 = 4x - 4 - 3x - 3 - 14
6x - 9x + x - 4x + 3x = - 4 - 3 - 14 + 12 + 9 + 3
-3x = 3
x = -1

Ejercicio nº 14.-

Resuelve las ecuaciones siguientes:

a)  -x2 - 4x + 5 = 0

b)  3x2 + 5x = 0

Solución:

a)  -x2 - 4x + 5 = 0

b)  3x2 + 5x = 0

Ejercicio nº 15.-

Resuelve la siguiente ecuación:

Solución:

2x2 - 8x + 8 + 3x2 + 3x - 2x = 18x2 - 36x + 14
2x2 + 3x2 - 18x2 - 8x + 3x - 2x + 36x + 8 - 14 = 0
-13x2 + 29x - 6 = 0

Ejercicio nº 16.-

Resuelve los siguientes sistemas e interpreta la solución obtenida:

Solución:

x = 3  ;  y = -2

Son dos rectas que se cortan en el punto (3, -2).

Ejercicio nº 17.-

Resuelve el siguiente sistema:

Solución:

x = 1  ;  y = 1

Ejercicio nº 18.-

En un triángulo, sabemos que el mediano de sus ángulos mide el doble que el pequeño. Además, el mayor de ellos excede en  5°  al mediano. ¿Cuánto miden sus ángulos?

Solución:

Llamamos  x  al ángulo pequeño; el mediano será  2x;  y el mayor será  2x + 5. 

Por tanto:
x + 2x + (2x + 5) = 180

2x = 70  ;  2x + 5 = 75 

Los ángulos miden  35°, 70° y 75°.

Ejercicio nº 19.-

Un coche sale de una ciudad  A  hacia otra ciudad  B, a las 9 de la mañana, a una velocidad de 110 km/h. A la misma hora, sale otro coche desde  B  hacia  A  a una velocidad de 70 km/h. Sabiendo que entre  A  y  B  hay 450 km, calcula a qué hora se cruzarán ambos vehículos y a qué distancia de  A  se producirá el encuentro.

Solución:

Se encontrarán a las 11 y media de la mañana, a 275 km de  A.

Ejercicio nº 20.-

Halla el valor de los ángulos señalados en cada figura:

Solución:

Ejercicio nº 21.-

Indica, razonando tu respuesta, cuáles de las siguientes figuras son poliedros. ¿Alguno de los poliedros que hay es regular?

Solución:

·  Un poliedro es un cuerpo geométrico cerrado, limitado por caras planas, que son polígonos. Por tanto, son poliedros  a),  c),  e)  y  f).

·  De ellos, el único poliedro que es regular es el  c), que es un cubo. Sus caras son polígonos regulares idénticos, cuadrados en este caso, y en cada vértice concurren tres caras.

Ejercicio nº 22.-

Halla la altura de este tronco de cono:

Solución:

Aplicamos el teorema de Pitágoras:

Ejercicio nº 23.-

Halla la generatriz de un tronco de cono de 15 cm de altura en el que la longitud de la base mayor es de 50,24 cm, y la de la base menor, 18,84 cm.

Solución:

Hallamos el radio de la base mayor:

Hallamos el radio de la base menor:

Por tanto:

2.2.5.

a)  Desde un punto  P  se traza una tangente a una circunferencia. La distancia de  P  al centro de la circunferencia es de 25 cm, y la distancia de  P  al punto de tangencia es de 24 cm. ¿Cuál es la longitud del radio?

b)  En una circunferencia de 7 cm de radio trazamos una recta a 4 cm de su centro. Halla la longitud de la cuerda que determina esta recta en la circunferencia.

Solución:

a)

Aplicamos el teorema de Pitágoras:

b)

Aplicamos el teorema de Pitágoras:

Por tanto, la longitud de la cuerda es  2x = 2 · 5,74 = 11,48 cm.

Ejercicio nº 24.-

Calcula el área de la parte coloreada:

Solución:

·  Hallamos el área del cuadrado,  x:

·  Área del triángulo ABC:

·  Área del sector circular no coloreado:

·  Área del sector circular coloreado:

·  Área total = A1 - A2 + A3 = 12,5 - 9,81 + 10,90 = 13,59 cm2

Ejercicio nº 25.-

Halla el área total de un tronco de pirámide de 9 cm de altura cuyas bases son cuadrados de lados 15 cm y 12 cm, respectivamente.

Solución:

Altura de una cara lateral:

·  Área de las cuatro caras laterales = 4 · 123,12 = 492,48 cm2 = A3  
·  Área total = A1 + A2 + A3 = 144 + 225 + 492,48 = 861,48 cm2

Ejercicio nº 26.-

Halla el volumen de cada una de estas figuras:

Solución:

b)  ·  Hallamos la altura de la pirámide:

Ejercicio nº 27.-

Dibuja la figura,  F,  de vértices  A(-3, 1),  B(-1, -1),  C(-1, 3)  y  D(-4, 3).

b)  Aplica a  F '  una simetría cuyo eje sea el eje  X.

Solución:

Ejercicio nº 28.-

a)  Describe un movimiento que transforme el triángulo  F1  en el triángulo  F2.

b)  Describe otro movimiento que transforme el triángulo  F1  en el triángulo  F3.

Solución:

a)  Simetría de eje  e.

Hay otras soluciones.

Ejercicio nº 29.-

Esta mañana, Elvira y sus padres fueron a casa de sus abuelos para pasar con ellos el fin de semana. La siguiente gráfica corresponde al viaje:

a)  ¿A qué distancia está la casa de los abuelos y cuánto tardaron en llegar?

b)  Tuvieron que realizar tres paradas ¿en qué momentos y a qué distancia de su casa?

c)  En el primer lugar que pararon dejaron olvidada una maleta y tuvieron que volver a recogerla. ¿Cuándo se dieron cuenta? ¿Cuánto tardaron en volver a por ella?

d)  Describe el recorrido completo.

Solución:

a)  Esta a 200 km de distancia y tardaron 5 horas en llegar.

b)  1ª parada  ®  Al cabo de 1 hora, a 100 km de distancia.
2ª parada  ®  Entre las 2,5 h y las 3 h del viaje, a 150 km de distancia.
3ª parada  ®  Entre las 3,5 h y las 4 h del viaje, a 100 km de distancia.

c)  Se dieron cuenta en  t = 3 h.  Tardaron media hora en volver a por ella.

d)  Salieron de su casa. Al cabo de 1 hora, cuando llevaban 100 km recorridos, hicieron una parada de media hora. Reanudaron la marcha y tardaron 1 h en llegar a un lugar, a 150 km de distancia de su casa, donde descansaron durante media hora. Se dieron cuenta de que les faltaba la maleta y volvieron a por ella, tardando media hora en llegar. Se quedaron otra media hora parados. Salieron de nuevo hacia su destino y tardaron 1 hora en llegar.

Ejercicio nº 30.-

La siguiente gráfica muestra los beneficios obtenidos por una empresa desde que comenzó a funcionar:

a)  ¿Cuál es el dominio de definición? ¿Cuántos años ha estado en funcionamiento la empresa?

b)  ¿En qué tramos es creciente la función y en cuáles es decreciente?

c)  ¿Al cabo de cuánto tiempo obtiene la empresa el beneficio máximo? ¿Cuál es ese beneficio?

d)  ¿Pierde dinero la empresa en algún momento? Razona tu respuesta.

Solución:

a)  Dominio  ®  De 0 a 16 años.
Ha estado 16 años en funcionamiento.
b)  Creciente en los tres primeros años y decreciente desde el 3er año hasta el 16.
c)  Al cabo de 3 años. Obtiene 10 miles de € (10 000 €) de beneficio.
d)  No. Los beneficios son siempre positivos (la gráfica está por encima del eje  X).

Ejercicio nº 31.-

Representa gráficamente las siguientes funciones:

b)  2x + 3y = 4
c)  y = -3

Solución:

a)  Pasa por  (0, -1)  y  (4, 2).

Pasa por  (2, 0)  y  (-1, 2).

c)  Paralela al eje  X.

Ejercicio nº 32.-

Halla la ecuación de cada una de las siguientes rectas:

a)  Es paralela a  y = 5x  y pasa por el punto  P(2, 8).
b)  Pasa por los puntos  A(2, -5)  y  B(-2, 7).

Solución:

a)  Paralela a  y = 5x   ®   m = 5
Ecuación punto-pendiente:  y = 8 + 5(x - 2)  ®  y = 5x - 2

Ecuación punto-pendiente:  y = -5 - 3(x - 2)  ®  y = -3x + 1

Ejercicio nº 33.-

Sabemos que entre las escalas de temperatura Réaumur y Celsius se dan estas relaciones: 100 °C = 80 °Réaumur y  20 °C = 16 °R.

a)  Obtén la ecuación de la recta que transforma los grados centígrados,  x,  en grados en la escala Réaumur,  y.

b)  Represéntala gráficamente.

c)  ¿A cuántos grados de la escala Réaumur equivalen  50 °C?

Solución:

a)  Buscamos la ecuación de la recta que pasa por los puntos  (100, 80)  y  (20, 16):

Ecuación punto-pendiente:

b)

c)  Si  x = 50 °C, entonces:  y = 0,8 · 50 = 40 °R