FINAL OPCIÓN E SOLUCIÓN

         	
Ejercicio nº 1.-

a)  Indica cuáles de los siguientes números son naturales, cuáles son enteros, cuáles racionales y cuáles irracionales:

b)  Representa estos números sobre la recta:

Solución:

 b)  

Ejercicio nº 2.-

a)  Opera y simplifica:

b)  Reduce a una sola potencia:

Solución:

·  Operamos y simplificamos:

Ejercicio nº 3.-

a)  Tres obreros tardan 12 días en realizar un determinado trabajo. ¿Cuántos obreros serían necesarios para terminar ese mismo trabajo en 2 días?

b)  Un ganadero necesita 150 kg de pienso para alimentar a sus 10 vacas durante unos días. Averigua la cantidad de pienso que sería necesaria para alimentar a 7 vacas durante los mismos días.

Solución:

Otra forma:
3 · 12 = 36 obreros serían necesarios para terminar en un día.
36 : 2 = 18 obreros serán necesarios para acabar en 2 días.

Otra forma:
150 : 10 = 15 kg  necesita para cada vaca.
15 · 7 = 105 kg  necesita para 7 vacas.

Ejercicio nº 4.-

En una progresión aritmética,  a8 = 22  y  a12 = 32.  Halla la suma de los dieciseis primeros términos.

Solución:

a12 = a8 + 4d   ®   32 = 22 + 4d   ®   10 = 4d   ®   d = 2,5
a1 = a8 - 7d = 22 - 7 · 2,5 = 22 - 17,5 = 4,5 = a1 
a16 = a1 + 15d = 4,5 + 15 · 2,5 = 4,5 + 37,5 = 42

Ejercicio nº 5.-

Opera y simplifica:

Solución:

Ejercicio nº 6.-

Resuelve:

Solución:

Solución:  x = -1  ;  y = 2

Ejercicio nº 7.-

Un camión sale a las 8 de la mañana desde una ciudad  A  hacia otra ciudad  B,  a una velocidad de 70 km/h. Simultáneamente sale un coche desde  B  hacia  A  a una velocidad de 110 km/h. Sabiendo que entre  A  y  B  hay 225 km, calcula a qué hora se cruzarán y a qué distancia de  A  se producirá el encuentro.

Solución:

Como  e = v · t,  tenemos que:

Solución:  Tardan 1 hora y cuarto en cruzarse. Se cruzarán a las 9 y cuarto. 
El encuentro se produce a 87,5 km de  A.

Ejercicio nº 8.-

Indica, razonando tu respuesta, cuáles de las siguientes figuras son poliedros. ¿Alguno de los poliedros que hay es regular?

Solución:

·   Un poliedro es un cuerpo geométrico cerrado, limitado por caras planas, que son polígonos. Por tanto, son poliedros a), c), f), g) y h).

·   De ellos, el único poliedro que es regular es el f), que es un octaedro (sus caras son triángulos equiláteros y en cada vértice concurren cuatro caras).

Ejercicio nº 9.-

Halla la altura de este tronco de cono:

Solución:

Aplicamos el teorema de Pitágoras:

Ejercicio nº 10.-

a)  Halla el área de esta figura:

b)  Halla el volumen de esta pirámide:

Solución:

a)  ·  Área del triángulo equilátero:

·  Área del rectángulo = b · h = 6 · 5 = 30 cm2 = A2
·  Área del círculo (unión de los dos semicírculos) = pr2 = p · 2,52 = 6,25 p » 19,63 cm2 = A3
·  Área total = A1 + A2 + A3 = 15,60 + 30 + 19,63 = 65,23 cm2 

b)  

·  Hallamos la altura de la pirámide:

Ejercicio nº 11.-

a)  Obtén la figura transformada de  F  al aplicarle un giro de centro  O(0, 0)  y ángulo 
a = 90°.

b)  Describe un movimiento que transforme  F1  en F2:

Solución:

a)

b)  Simetría cuyo eje es el eje  Y.

Ejercicio nº 12.-

La siguiente gráfica muestra el recorrido que siguió Lorena esta mañana desde que salió de su casa hasta que volvió:

a)  ¿Cuál es el dominio de definición? ¿Cuánto tiempo estuvo fuera de su casa?

b)  ¿En qué momento está a la mayor distancia de su casa? ¿Cuál es esa distancia?

c)  Hay un momento en el que se para a hablar con su prima Elvira, ¿durante cuánto tiempo está parada? ¿A qué distancia de su casa se produce el encuentro?

d)  Describe el crecimiento y el decrecimiento de la gráfica y explica su significado dentro del contexto del problema.

Solución:

a)  Dominio  ®  de 0 min a 35 min.
Está 40 minutos fuera de su casa.

b)  A los 25 minutos, que está a 600 m de su casa.

c)  Está parada durante 5 minutos (desde  t = 10  hasta  t = 15).
El encuentro se produce a 400 m de su casa.

d)  Creciente de 0 a 10 y de 15 a 25 (se aleja de su casa).
Decreciente de 25 a 35 (vuelve a su casa).
Constante de 10 a 15 (está parada).

Ejercicio nº 13.-

a)  Representa la función  -2x + 3y = 1.

b)  Halla la ecuación de la recta que pasa por  P(3, -2)  y tiene pendiente 2; y dibuja su gráfica.

Solución:

Pasa por  (1, 1)  y  (-2, -1):

b)  Ecuación punto-pendiente:

Ejercicio nº 14.-

Se sabe que cada 32 metros de profundidad bajo tierra, la temperatura aumenta un grado.

a)  Si en la superficie la temperatura es de 10 °C, encuentra la ecuación de una recta que relacione los metros de profundidad con los grados; y represéntala gráficamente.

b)  Un agua termal que sale a 79°, ¿de qué profundidad proviene? 

Solución:

profundidad e  y  es la temperatura, tenemos que:

(También podemos hallar la recta que pasa por los puntos  (0, 10)  y  (32, 11).)

b)  Si  y = 79°, tenemos que:

Ejercicio nº 15.-

a)  En una bolsa hay cuatro bolas, cada una con uno de los números 1, 2, 3, 4. Extraemos dos bolas y sumamos los números obtenidos. Hemos repetido la experiencia 60 veces, obteniendo los siguientes resultados:

Halla la media y la desviación típica de esta distribución.

b)  Hemos lanzado dos dados 200 veces, anotando la suma que obteníamos. La media ha sido 7 y la desviación típica 2,43. Calcula el coeficiente de variación en este caso y en el anterior y di en cuál de ellos la variación relativa es mayor.

Solución:

a)

Media:

Desviación típica:

Ejercicio nº 16.-

En una urna hay 2 bolas blancas y 8 negras. Extraemos una bola al azar y anotamos su color. Escribe el espacio muestral y califica cada suceso según su probabilidad:

Solución:

E = {B, N}

Ejercicio nº 17.-

Una urna contiene 5 bolas rojas, 3 amarillas y 8 azules. Extraemos una bola al azar. Calcula la probabilidad de que la bola:

a)  Sea azul.

b)  No sea roja.

Solución:

En total hay  5 + 3 + 8 = 16 bolas.