FINAL OPCIÓN B SOLUCIÓN

         	
Ejercicio nº 1.-

a)  Clasifica los siguientes números como naturales, enteros, racionales o irracionales:

b)  Representa sobre la recta los siguientes números:

Solución:

 b)  

Ejercicio nº 2.-

a)  Efectúa y simplifica:

b)  Simplifica la siguiente expresión:

Solución:

·  Operamos y simplificamos:

Ejercicio nº 3.-

Alicia gasta 1/3 del dinero que tenía en comprarse un libro, y 3/4 de lo que le quedaba, en un regalo para su amiga María. Si aún le quedan 6 €, ¿cuánto dinero tenía al principio?

Solución:

Ejercicio nº 4.-

En una progresión geométrica sabemos que  a5 = 48  y la razón es 2. Halla el término general y calcula la suma de los ocho primeros términos.

Solución:

a5 = a1 · r4   ®   48 = a1 · 24   ®   48 = a1 · 16   ®   a1 = 3
Término general:  an = a1 · rn-1 = 3 · 2n - 1   ®   an = 3 · 2n - 1  
a8 = a1 · r7 = 3 · 27 = 3 · 128 = 384

Ejercicio nº 5.-

Opera y simplifica cada una de estas expresiones:

Solución:

Ejercicio nº 6.-

Resuelve:

Solución:

Solución:  x = 3  ;  y = -2

Ejercicio nº 7.-

En un rectángulo de 120 cm2 de área, la base excede al triple de la altura en 2 unidades. Halla la longitud de la base y la de la altura.

Solución:

Solución:  La base mide 20 cm y la altura, 6 cm.

Ejercicio nº 8.-

Indica si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones. Razona tu respuesta.

a)  El punto de corte de las mediatrices de un triángulo se llama baricentro.

b)  El icosaedro y el octaedro son poliedros duales.

c)  Si un poliedro simple tiene 8 caras y 6 vértices, necesariamente tendrá 12 aristas.

d)  La medida de un ángulo inscrito en una circunferencia es igual a la del ángulo central correspondiente.

Solución:

a)  Falsa. El punto de corte de las mediatrices es el circuncentro. El baricentro es el punto de corte de las medianas.

b)  Falsa. El icosaedro y el dodecaedro son poliedros duales. También lo son el octaedro y el cubo (y el tetraedro es dual de sí mismo).

c)  Verdadera. Aplicamos la fórmula de Euler:  c + v - a = 2.  En este caso: 8 + 6 - 12 = 2.

d)  Falsa. La medida de un ángulo inscrito en una circunferencia es igual a la mitad del ángulo central correspondiente.

Ejercicio nº 9.-

Halla la longitud de la apotema de un hexágono regular de 10 cm de lado.

Solución:

Aplicamos el teorema de Pitágoras:

Ejercicio nº 10.-

Halla el área total y el volumen de una pirámide de 12 cm de altura cuya base es un hexágono regular de 4 cm de lado.

Solución:

·  Hallamos el área de la base:

·  Hallamos el área de una de las caras laterales:

·  Área total = A1 + 6 · A2 = 41,52 + 6 · 24,98 = 41,52 + 149,88 = 191,40 cm2 

Ejercicio nº 11.-

Dibuja el triángulo,  F,  de vértices  A(-2, -3),  B(1, -3),  y  C(-3, -5).

a)  Obtén el triángulo,  F ',  que resulta al aplicarle a  F  una simetría de eje  e.

Solución:

Ejercicio nº 12.-

La siguiente gráfica muestra la relación entre el precio por unidad de un cierto artículo y los beneficios diarios obtenidos por las ventas de dicho artículo:

a)  ¿Cuál es el dominio de definición considerado?

b)  Describe el crecimiento y el decrecimiento de la función.

c)  ¿A qué precio se debe vender el producto para que el beneficio sea máximo? ¿Cuál será ese beneficio?

d)  ¿Qué beneficio (o pérdida) se obtiene al vender el producto a 10 €?

Solución:

a)  De 0 a 10 €.

b)  Es creciente cuando el precio por unidad varía de 0 € a 5 € y decreciente de 5 € a 10 €.

c)  Se debe vender a 5 € la unidad. En ese caso, el beneficio será de 20 €.

d)  5 € de pérdida.

Ejercicio nº 13.-

a)  Representa gráficamente la función  3x + 2y = 4.

b)  Halla la ecuación de la recta que pasa por los puntos  A(3, -5)  y  B(-1, 3);  y dibuja su gráfica.

Solución:

Pasa por  (2, -1)  y  (4, -4):

Ecuación punto-pendiente:

Ejercicio nº 14.-

a)  Sabiendo que  20 °C = 68 °F  y que  30 °C = 86 °F, halla la ecuación de la recta que nos da la transformación de grados centígrado a grados Farenheit y represéntala gráficamente.

b)  ¿Cuántos grados Farenheit son 37 °C?

Solución:

a)  Buscamos la ecuación de la recta que pasa por los puntos  (20, 68)  y  (30, 86):

Ecuación punto-pendiente:

b)  Si  x = 37 °C   ®   y = 1,8x + 32 =1,8 · 37 + 32 = 66,6 + 32 = 98,6 °F.

Ejercicio nº 15.-

Las edades de los empleados de una cierta empresa,  A,  vienen recogidos en la siguiente tabla:

a)  Calcula la media y la desviación típica de esta distribución.

b)  En otra empresa,  B,  la media de edad es de 35 años y la desviación típica es de 
10 años. Calcula el coeficiente de variación en los dos casos y compara la dispersión en ambos grupos.

Solución:

a)  Hallamos la marca de clase,  xi,  de cada intervalo y hacemos la tabla:

Media:

Desviación típica:

Ejercicio nº 16.-

Lanzamos un dado y anotamos la puntuación obtenida. Escribe el espacio muestral y califica cada suceso según su probabilidad:

Solución:

E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Ejercicio nº 17.-

En el lanzamiento de un dado correcto, calcula la probabilidad de:

a)  Obtener un número menor que 3.

b)  Obtener un número mayor que 5.

Solución: