FINAL OPCIÓN A SOLUCIÓN

Ejercicio nº 1.-

a)  Dados los siguientes números, clasifícalos según sean naturales, enteros, racionales o irracionales:

b)  Representa los siguientes números sobre la recta:

Solución:

 b)  

Ejercicio nº 2.-

a)  Calcula y simplifica el resultado:

b)  Simplifica:

Solución:

·  Operamos y simplificamos:

Ejercicio nº 3.-

Eloy, Luis y Pablo invierten en un negocio 37 000 €, 25 000 € y 28 000 €, respectivamente. Al cabo de un tiempo, obtienen unos beneficios de 225 000 €. ¿Cuánto le corresponderá a cada uno?

Solución:

225 000 : 90 000 = 2,5 € corresponden por cada euro invertido.

Eloy	®  37 000 · 2,5 = 92 500 € le corresponden.
Luis	®  25 000 · 2,5 = 62 500 € le corresponden.
Pablo	®  28 000 · 2,5 = 70 000 € le corresponden.

Ejercicio nº 4.-

El cuarto término de una progresión aritmética vale 3,5, y el séptimo término vale 11. Halla el término general y calcula la suma de los 35 primeros términos.

Solución:

a7 = a4 + 3d   ®   11 = 3,5 + 3 · d   ®   11 - 3,5 = 3d   ®   7,5 = 3d   ®   d = 2,5
a1 = a4 - 3d = 3,5 - 3 · 2,5 = 3,5 - 7,5 = -4 = a1
Término general: an = a1 + (n - 1) · d = -4 + (n - 1) · 2,5 = -4 + 2,5n - 2,5 = 2,5n - 6,5
an = 2,5n - 6,5   ®   a35 = 2,5 · 35 - 6,5 = 81

Ejercicio nº 5.-

Opera y simplifica en cada caso:

Solución:

Ejercicio nº 6.-

Resuelve:

Solución:

Solución:  x = -2  ;  y = -1

Ejercicio nº 7.-

Las dos cifras de un número suman 11; y, si invertimos el orden de sus cifras, el nuevo número excede en 63 unidades al número inicial. ¿De qué número se trata?

Solución:

Llamamos  x  a la cifra de las decenas e  y  a la de las unidades. Así, el número es  10x + y. Tenemos que:

Solución:  El número es 29.

Ejercicio nº 8.-

Halla el valor de los ángulos señalados en cada figura:

Solución:

Ejercicio nº 9.-

Los radios de dos circunferencias miden 8 cm y 3 cm, respectivamente, y la distancia entre sus centros es de 15 cm. Halla la longitud del segmento de tangente común externa.

Solución:

Aplicamos el teorema de Pitágoras:

Ejercicio nº 10.-

a)  Halla el área de esta figura:

b)  Halla el volumen de un cono de 16 cm de generatriz cuya circunferencia básica mide 18,84 cm.

Solución:

a)  

·  Hallamos la longitud de la base mayor del trapecio:

Base mayor = 4 + 2x = 4 + 6 = 10 cm

·  Área total = A1 + A2 = 28 + 39,25 = 67,25 cm2  

b) 

·  Hallamos el radio de la base:

·  Hallamos la altura del cono:

Ejercicio nº 11.-

Dibuja la figura,  F,  de vértices  A(4, 1),  B(6, 1),  C(6, -1),  y  D(2, -1).

b)  Aplícale a  F ' una simetría cuyo eje sea el eje  Y.

Solución:

Ejercicio nº 12.-

La siguiente gráfica muestra el crecimiento de una planta:

a)  ¿Cuál es el dominio de definición?

b)  ¿Es una función continua o discontinua?

c)  ¿Cuánto mide al cabo de un mes?

d)  ¿Cuándo mide 50 cm?

e)  Explica si es una función creciente o decreciente.

Solución:

a)  De 0 a 7 meses.

b)  Es continua.

c)  30 cm, aproximadamente.

d)  A los 3 meses, aproximadamente.

e)  Es una función creciente porque al aumentar el tiempo, aumenta la altura.

Ejercicio nº 13.-

a)  Representa gráficamente la función  3x + 4y = 2.

b)  Escribe la ecuación de la recta que pasa por los puntos  A(2, -1)  y  B(-1, 5); y dibuja su gráfica.

Solución:

Pasa por  (2, -1)  y  (-2, 2):

Ecuación punto-pendiente:

Ejercicio nº 14.-

Midiendo la temperatura a diferentes alturas se ha observado que, por cada 180 m de ascenso, el termómetro baja 1 °C. Si en la base de una montaña de 900 m estamos a 
10 °C, ¿cuál será la temperatura en la cima? Representa gráficamente la función que nos da la temperatura en función de la altura y escribe su ecuación.

Solución:

e  y  es la temperatura (en °C), tenemos que:

Ejercicio nº 15.-

Las notas de matemáticas de las alumnas y los alumnos de 3º de ESO de un determinado instituto han sido las siguientes:

a)  Halla la media y la desviación típica de esta distribución.

b)  La nota media de los mismos alumnos y alumnas en inglés ha sido de 6,5 con una desviación típica de 2,8. Calcula el coeficiente de variación en los dos casos y di en cuál de ellos la variación relativa es mayor.

Solución:

a)  Hallamos la marca de clase,  xi,  de cada intervalo y hacemos la tabla:

Media:

Desviación típica:

Ejercicio nº 16.-

En una urna hay 10 bolas numeradas del 1 al 10. Extraemos una bola al azar y anotamos su número. Escribe el espacio muestral y completa la tabla:

Solución:

E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

La tabla se puede completar de muchas formas. Por ejemplo:

Ejercicio nº 17.-

En una caja hay 100 bolas numeradas del 0 al 99. Se extrae una bola al azar. Halla la probabilidad de que el número extraído:

a)  Sea menor que 10.

b)  Sea mayor que 94.

Solución: