Les fondements de l'optique géométrique :
Le principe de Fermat
Thomas Huault
Cours d'optique n°1
1 Introduction
Par définition, l'optique (aussi bien géométrique, ondulatoire, non-linéare que corpusculaire) est la science de l'étude
des phénomènes perçus par l'oeil. Etant une des plus ancienne des sciences étudiées à ce jour, le plupart des principes qui en font
les fondements sont connus depuis le 19eme siècle. L'optique à connu sa révolution en 1905 lorsque Albert Einstein à introduit
le concept du photon, le corpuscule de lumière, pour interpréter l'effet photoélectrique.
L'optique géomètrique est la représentation des phénomènes propagatifs sour forme de rayos lumineux. La base en est le principe de Fermat que
nous allons étudier et discuter ici.
2 Le principe de Fermat
2.1 Enoncé et historique
En 1657, P. de Fermat à énoncé un principe donnant tout son fondement à l'optique géométrique.
Ce principe est valable dans les milieux isotropes pour une description des rayons lumineux ne dépendant pas de la nature
ondulatoire de la lumière.
Il a donc été énoncé sous la forme suivante : "La lumière se propage d'un point à un autre sur une trajectoire telle que la durée du
parcours soit minimale".
2.2 Parcours de la lumière
2.2.1 Notions de chemin optique et d'indice de réfraction
Le chemin optique est défini comme étant le parcours réel qu'a effectué la lumière. Dans les milieux autre que le vide,
les propriétés diélectriques des matériaux introduisent une modification de la longueur de la distance parcourue par la lumière.
Le chemin optique de la lumière pour aller d'un point A vers un point B, se notant AB, est l'équivalent de la distance géométrique entre le point A et
le point B (distance équivalente à un parcours dans le vide), rapportée aux propriétés réfringentes du milieu en multipliant cette distance
par l'indice de réfraction n.
AB=n.(AB)
où (AB) est la distance géométrique entre le pint A et le point B.
La lumière se propage "plus difficilement" dans les milieux autres que le vide. L'indice de réfraction du vide, généralement noté n0, est
considéré comme l'indice de référence et est égal à 1.
Exemple : Un rayon lumineux traverse une couche d'eau de 5 cm d'épaisseurs. Parallèlement, un autre rayon lumineux traverse 5 cm d'air. L'eau
à pour indice de réfracction n=1,33 et l'air un indice sensiblement égal à celui du vide Þ n=1. Dans l'eau, le rayon lumineux aura parcouru
une distance D=1,33.5=6,65 cm. Dans l'air, le rayon aura parcourue une distance D'=1.5=5 cm. Le rayon aura parcouru un chemin optique plus
long dans l'eau que dans l'air.
2.2.2 Généralisation à une courbe quelconque
Soit une courbe C quelconque. On considère deux points eux aussi quelconques appartenant à la courbe C, infiniment voisin et distant d'une distance ds.
Le chemin optique séparant ces deux points va être défini par dL=n.ds. dL est la différencielle de chamine optique ou encore, l'élément unitaire infinitésimal
de chemin optique. Pour trouver le chemin optique L séparant deux points A et B sur cette courbe quelconque, il suffit de faire la somme intégrale
de tous les éléments dL sur les coordonnées curvilignes s délimitées par les points A et B :
2.2.3 Minimalisation et stationnarité de l'intégrale d'action du chemin optique
"Entre deux points A et B, atteints par la lumière, le chemin optique suivi le long du trajet est stationnaire".
La stationnarité du chemin optique vient de l'extrémalisation de l'intégrale du chemin optique. En d'autres termes; il s'agit ici de minimiser les
écarts qu'il pourrait exister par rapport à la trajectoire empruntée réellement par la lumière. On parle alors de stationnarité du
chemin optique lorsque les écarts d L=L-L' entre la trajectoire prévue L et la trajectoire explorée L' sont infiniment petit par rapport
à la variation de coordonnée curviligne d'un point M, d M, d'une trajectoire à l'autre (analogie avec la mécanique Lagrangienne).
3 Conséquences
3.1 Propagation dans les milieux homogènes
Une conséquence directe du principe de Fermat est la propagation rectiligne des rayons lumineux dans les milieux homogènes.
Un milieu homogène est caractérisé par une distribution uniforme de l'indice de réfraction, soit par le fait que
l'indice de réfraction est le même en tout point du milieu.
L'intégrale de chemin optique devient alors :
Le résultat de l'extrémalisation du chemin optique dans un milieu d'indice de réfraction homogène est donc une droite ; en effet, par analogie avec
les déplacements, le chemin le plus court pour aller d'un point à un autre en l'abscence d'obstacle est et à toujours été la ligne droite.
3.2 Principe du retour inverse de la lumière
"Le trajet de la lumière ne dépend pas de son sens de parcours".
La stationnarité du chemin optique permet de procéder à quelques considérations. Entre deux points A et B, tous deux sur la trajectoire curviligne
d'un rayon lumineux se propageant dans un milieu inhomogène, on peut exprimer l'intégrale de chemin optique comme il suit :
| L(AB)= |
ó
õ |
|
n.ds= |
ó
õ |
|
n(-ds)= |
ó
õ |
|
n.ds' |
Dans le cas de l'étude d'un système optique, cela signifie que l'on pourra étudier la propagation de la lumière et le trajet des rayons lumineux
sans se soucier du sens de propagation.
4 Conclusion : ce qu'il faut retenir
Le point le plus important de cet leçon est que la lumière va toujours minimiser son temps de trajet. Il en résulte donc plusieurs points importants.
En premier lieu, la conséquence directe du Principe de Fermat est la propagation rectiligne des rayons lumineux dans les milieus homogènes. Pour
aller d'un point à un autre, la lumière va tracer une droite.
Secondement, dans le cas de l'éude de la propagation du rayon, on pourra tout aussi bien commencer l'étude du système par sa sortie ou son entrée.
Une conséquence fondamentale du principe de Fermat réside dans la réfraction des rayons lumineux que nous déveloperons dans le cours d'optique n°2
sur les lois de Snell-Descartes sur la réfraction de la lumière.
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