Cours d'électromagnétisme :
L'électrodynamique relativiste

cours n°4

1  Equations de Maxwell covariantes

L'équation

µµAn=
jn
e0c
    (1)
donne le potentiel. Nous allons maintenant chercher des équations explicites donnant le champ.
On part du champ tenseur :
Fµn=µAn-nAµ
Þ µFµn=µµAn
 
jn
e0c
-µµAµnµAµ=0  par la relation de Lorentz (nAn=0)
Ce qui donne les équations de Maxwell covariantes :
µFµn=
jn
e0c
    (2)
sFµn+µFns+nFsµ=0     (3)
La deuxième équation bien que plus technique à établir est issue de la dérivation de (1).
On pose n=0 :
(2)®µFµ 0=
j0
e0c
Ek
xk
=
cr
e0c
Û div E=
r
e0
Ce qui donne donc :
Ñ.E=
r
e0
    (4)

On pose n=3 :
(2)®µFµ 3=
j3
e0c
Ez
x0
+
Ey
x1
+
Ex
x2
=
j3
e0c
(ÑÙB)z=
1
c2
Ez
t
+
jz
e0c2
on a µ0e0c2=1 donc :
(ÑÙB)z=e0µ0
Ez
t
+µ0jz
En répétant la même démarche avec n=1 et n=2 on obtient les composantes x et y :
ÑÙB=e0µ0
E
t
+µ0j     (5)

On regarde maintenant (3) en posant le triplet (µ,n,s)=(1,2,3) :
3F12+1F23+3F31=0
æ
ç
ç
è
x3
ö
÷
÷
ø		 (-cBz)+ æ
ç
ç
è
x2
ö
÷
÷
ø		 (-cBy)+ æ
ç
ç
è
x1
ö
÷
÷
ø		 (-cBx)=0
Û
Bz
z
+
By
y
+
Bx
x
=0
Ce qui permet d'écrire :
Ñ.B=0     (6)

En appliquant un autre triplet d'indice sur (3), on peut obtenir :
ÑÙE=
- B
t
    (7)